Кикоин А.К. Принцип Ферма // Квант. - 1984. - № 1. - С. 36-38.
За спеціальною домовленістю з редколегією та редакцією журналу "Квант"
Основу геометричної оптики, яка оперує поняттям «світловий промінь», складають три закони - закони прямолінійного поширення, відображення і заломлення світла. У давні часи, коли були сформульовані ці закони, питання про природу світла ще не стояло, і за поняттям «промінь» не приховувалося нічого фізично реального.
У 20-х роках XIX ст. було з'ясовано, що світло - це хвиля. Промінь світла став просто прямий, перпендикулярної хвильової поверхні і вказує напрямок поширення світлової хвилі. На основі хвильових уявлень можна легко отримати закони відображення і заломлення світла. Так це і зроблено в підручнику «Фізика 10» (§§ 37 і 65). Однак в кінці XIX - початку XX ст. стало ясно, що світло має не тільки хвильовими, але і корпускулярним властивостями теж. З точки зору корпускулярної (квантової) природи світло являє собою потік елементарних світлових частинок - фотонів. В однорідному середовищі промінь можна вважати траєкторією руху фотонів.
Але цікаво, що задовго до цього був сформульований дивовижний принцип, з якого прямо випливають всі основні закони поширення світла. Принцип цей, знайдений французьким математиком П'єром Ферма (1601-1665) близько 1660 року, говорить: з усіх можливих шляхів між двома точками світло проходить по тому, за яким час проходження найменше.
З принципу Ферма (так його зазвичай називають) слід, що в однорідному середовищі (в такому середовищі швидкість світла всюди однакова) світло повинне поширюватися прямолінійно: пряма - найкоротша відстань між двома точками, отже, і час поширення - найменше.
Покажемо тепер, що закон відбиття світла - теж прямий наслідок принципу Ферма.
Закон відбиття світла
Нехай ММ - плоске дзеркало. У точці А знаходиться джерело світла, і нас цікавить, яким шляхом світло, відбившись від дзеркала, приходить з точки А в точку В (рис. 1).
Мал. 1
На малюнку 1 показані деякі з можливих шляхів - АА'В, АСВ, АВ'В. Таких «маршрутів» для світла можна зобразити безліч. Вони різні за довжиною, так що на їх проходження потрібне різний час. Воно залежить від того, в яку точку дзеркала впаде промінь і, відбившись, попрямує в В.
З простих геометричних міркувань легко з'ясувати, куди саме має впасти промінь, щоб час його проходження по «маршруту» точка А - дзеркало - точка В було найменшим. На малюнку 2 представлений один з можливих шляхів - АСВ.
Мал. 2
Опустимо з точки В перпендикуляр на дзеркало ММ і продовжимо його по іншу сторону дзеркала до точки В ', що відстоїть від дзеркала на відстані | ОВ '| = | ОВ |. Проведемо лінію СВ '. Утворені трикутники СОВ і СОВ 'дорівнюють один одному, так як вони прямокутні, сторона ОС у них загальна і | ОВ | = | ОВ '|. Отже, | CВ | = | CВ '|, звідки випливає, що довжина шляху променя АСВ дорівнює сумі довжин від А до точки С падіння променя на дзеркало і від цієї точки до струми В. Ясно, що ця сума буде меншою, якщо точка С буде лежати на прямій, що з'єднує точки А і В '(рис. 3).
Мал. 3
Тоді і сума довжин | АС | і | СВ |, тобто довжина всього шляху світла, буде найменшою, Найменшим буде і час проходження світлом цього шляху.
З малюнка 3 видно, що ∠ ВСО = ∠ В'СО (трикутник ВСВ 'рівнобедрений, тому СО - бісектриса кута при вершині), а ∠ В'СО = ∠ АСМ (як вертикальні). Це означає, що кути нахилу падаючого і відбитого променів до дзеркала рівні один одному. В цьому і полягає закон відбиття світла. Прийнято, проте, відраховувати кути немає від площини дзеркала, а від нормалі до неї в точці падіння. Але ясно, що якщо рівні кути i та i ', то рівні і кути α і γ - Закон відображення зазвичай записується у вигляді
\ (~ \ Alpha = \ gamma \).
Закон цей, як ми бачимо, - наслідок того, що світло як би «вибирає» шлях, який проходиться за найменший час. Неважко бачити, що з принципу Ферма слід і твердження, що промінь падаючий, промінь відбитий і нормаль до дзеркала в точці падіння лежать в одній площині. Якби це було не так, то шлях був би довше і вимагав би більшого часу.
Відзначимо ще одну важливу особливість, пов'язану з відображенням світла від дзеркала. Якщо в точці А (див. Рис. 3) знаходиться джерело світла, а в точці В - очей, то очей сприйме світло так, як ніби-то джерело світла знаходиться не в А, а в А ', а дзеркала зовсім немає. Якщо дзеркало прибрати, а джерело перенести з А в А ', то око не помітить такої заміни.
Закон заломлення світла
З принципу Ферма можна отримати і закон заломлення світла (точніше - світлових променів). Тут мова йде про перехід світла з одного середовища (середа I на малюнку 4) в іншу (середа II) через кордон розділу між ними. Різниця середовищ полягає в тому, що в них різні швидкості поширення світла.
Мал. 4
Ми розглянемо випадок, коли середовище I - це вакуум, в якому швидкість світла дорівнює с, а друга середа - якесь прозоре речовина (наприклад, скло, вода і т. Д.), В якому швидкість світла υ менше, ніж з: з> υ.
Між точками А в середовищі I і В у середовищі II також мислимі незліченна безліч шляхів, але, згідно з принципом Ферма, світло «вибирає» той з них, для проходження якого потрібно найменший час. Ясно, наприклад, що шлях АА'В не їсти такий шлях, тому що тут світло проходить короткий (найкоротший) відстань в середовищі з великою швидкістю і велику відстань в середовищі з малою швидкістю. Бути може, вигідніше шлях АВ'В? Тут світло в середовищі з малою швидкістю проходить мінімальну частину шляху, а найбільша частка припадає на середу з великою швидкістю. Але чи є саме цей шлях найвигідніший в сенсі економії часу? Може бути, вигідніше трохи продовжити шлях в середовищі II з тим, щоб скоротити шлях в середовищі I? Словом, потрібно знайти, в якій точці світу (променю) потрібно перетнути кордон розділу двох середовищ, щоб час проходження від А до В було найменшим. Ясно, що ця точка лежить десь між А 'і В' (включаючи, можливо, і саму точку В ').
Позначимо відстань між А 'і В' через d. Якщо потрібна нам точка С перетину кордону розділу знаходиться на відстані х від А ', то від В' вона відстоїть на відстані d - х (див. Рис. 4). Шлях АС, прохідний світлом в середовищі I, дорівнює \ (~ \ sqrt {y ^ 2_1 + x ^ 2} \), а час проходження цього шляху
\ (~ T_1 = \ frac {\ sqrt {y ^ 2_1 + x ^ 2}} {c} \).
Шлях СВ, прохідний світлом в середовищі II, дорівнює \ (~ \ sqrt {y ^ 2_2 + (x - d) ^ 2} \), а час, потрібний для проходження цього шляху,
\ (~ T_2 = \ frac {\ sqrt {y ^ 2_2 + (x - d) ^ 2}} {\ upsilon} \).
Загальний час t визначається рівністю
\ (~ T = t_1 + t_2 = \ frac {\ sqrt {y ^ 2_1 + x ^ 2}} {c} + \ frac {\ sqrt {y ^ 2_2 + (x - d) ^ 2}} {\ upsilon } \). (1)
Час t залежить тільки від х - координати точки падіння променя, так як величини y 1, y 2, с, υ і d - постійні, тобто однакові при всіх значеннях х. Ось нам і потрібно знайти, при якому значенні х час t буде найменшим. Засобами звичайної алгебри цю задачу вирішити не можна. Щоб її вирішити, потрібно скористатися тим, що при тому значенні х, при якому t мінімально, похідна функції, що стоїть в правій частині рівняння (1), дорівнює нулю [1] .
Це призводить нас до такої умови для х:
\ (~ \ Frac {x} {c \ sqrt {y ^ 2_1 + x ^ 2}} = \ frac {d - x} {\ upsilon \ sqrt {y ^ 2_2 + (x - d) ^ 2}} \ ). (2)
З малюнка 4 видно, що
\ (~ \ Frac {x} {\ sqrt {y ^ 2_1 + x ^ 2}} = \ sin \ angle A'AC = \ sin \ alpha; \ frac {d - x} {\ sqrt {y ^ 2_2 + (x - d) ^ 2}} = \ sin \ angle CBB '= \ sin \ beta \).
де α - кут між падаючим променем і нормаллю до кордону розділу в точці падіння (кут падіння) і β - кут між цією нормаллю і заломленим променем (кут заломлення). Умова (2) приймає тому вигляд:
\ (~ \ Frac {\ sin \ alpha} {c} = \ frac {\ sin \ beta} {\ upsilon} \) або \ (~ \ frac {\ sin \ alpha} {\ sin \ beta} = \ frac {c} {\ upsilon} \).
В цьому і полягає закон заломлення для нашого випадку: ставлення синуса кута падіння до синуса кута заломлення дорівнює відношенню швидкостей поширення світла у вакуумі і в середовищі, яка з ним межує. Ставлення \ (~ \ frac {c} {\ upsilon} \) - величина постійна, характерна для даного середовища. Вона називається показником заломлення речовини і позначається буквою n, так що
\ (~ \ Frac {\ sin \ alpha} {\ sin \ beta} = n \).
У загальному випадку, коли світло переходить з довільної середовища, в якій швидкість світла дорівнює υ 1, в середу зі швидкістю світла в ній υ 2, закон заломлення має вигляд
\ (~ \ Frac {\ sin \ alpha} {\ sin \ beta} = \ frac {\ upsilon_1} {\ upsilon_2} = n_ {21} \),
де n 21 - відносний показник заломлення середовищ 2 і 1.
Принцип Ферма справедливий, звичайно, не тільки для тих найпростіших прикладів відображення і заломлення світла, які ми тут розглянули. За допомогою цього принципу можна зрозуміти і точно розрахувати хід променів і в призмі, і в лінзі і в будь-якої найскладнішої системі призм, лінз, дзеркал.
Примітки
- ↑ Похідна функції t = t (x) дорівнює нулю ще в двох випадках - коли функція проходить через максимум і коли зовсім не залежить від х (тобто функція стаціонарна). Тут нас цікавить тільки випадок мінімуму. Однак дійсний шлях світла може бути і мінімальним, н максимальним, і стаціонарним (рівним всім іншим можливим шляхам). Стаціонарний і максимальний шляху спостерігаються, наприклад, прн відображенні світла від вигнутих поверхонь. Таким чином, принципом Ферма можна дати більш загальне формулювання, ніж це було зроблено »самим Ферма.