/ матриці / 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

10. Класичні алгебри Лі. (Матричної) алгеброю Лі називається будь-яка аддитивная підгрупа квадратних матриць Mn ( ), Замкнута щодо операції коммутирования [A, B] = AB - BA. Наступні безлічі матриць складають класичні алгебри Лі; зазвичай вони навіть утворюють лінійні простори над (іноді над R, хоча = C). Вони не являють собою групи по множенню!

a) Алгебра gl (n, ). Вона складається з усіх матриць Mn ( )

б) Алгебра sl (n, ). Вона складається з усіх матриць Mn ( ) Зі слідом нуль (іноді кажуть "безслідних"). Замкнутість щодо комутатора випливає з формули Tr [A, B] = 0, доведеною в п.8 . Зауважимо, що Tr є лінійною функцією на просторах квадратних матриць і лінійних операторів, так що sl (n, ) Є лінійним простором над .

в) Алгебра про (n, ). Вона складається з усіх матриць в Mn ( ), Що задовольняють умові A + At = 0. рівносильно умова: A = (aik), де aii = 0 (якщо характеристика відмінна від двох), aik = - aki. Такі матриці називаються антисиметричного, або кососімметрічнимі. Зауважимо, що Tr A = 0 для всіх .

Якщо At = - A, Bt = - B, то [A, B] t = [Bt, At] = [- B, - A] = - [A, B], так що [A, B] кососімметрічна. Такі матриці утворюють лінійний простір над .

Попутно зауважимо, що матриця A називається симетричною, якщо At = A. Безліч таких матриць не замкнене щодо коммутирования, але замкнуто щодо антікоммутірованія AB + BA або операції Йордана .

- 1 - 2 - 3 - 4 - 5 - 6 - 7 - 8 - 9 - 10 - 11 - 12 - 13 - 14 - 15 -