Механіка твердого тіла. Лекції.
В.А.Алешкевіч, Л.Г.Деденко, В.А.Караваев ( Фізичний факультет МГУ )Видавництво Фізичного факультету МДУ , 1997 г. зміст
Плоске рух.
плоске рух - це такий рух твердого тіла, при якому траєкторії всіх його точок лежать в паралельних площинах. Якщо в тілі провести деяку пряму O1O2, перпендикулярну цим площинах (рис. 1.9), то всі крапки цієї прямої рухатимуться за однаковими траєкторіях з однаковими швидкостями і ускорениями ; сама пряма буде, природно, зберігати свою орієнтацію в просторі. Таким чином, при плоскому, або, як його іноді називають, плоско-паралельному, русі твердого тіла досить розглянути рух одного з перетинів тіла.
Звернемося до класичного простому наприклад плоского руху - коченню циліндра по площині без прослизання. Розглядаючи одне з перетинів циліндра площиною, перпендикулярної його осі, ми прийдемо до відома задачі про катящемся колесі (рис. 1.10). Центр колеса рухається прямолінійно, траєкторії інших точок є криві, звані циклоїді .
При відсутності прослизання миттєва швидкість найнижчої точки колеса (точки M) дорівнює нулю. Це дозволяє розглядати кочення колеса як суперпозицію двох рухів: поступального зі швидкістю осі 
і обертального з кутовий швидкістю 
де 
- радіус колеса. Ясно, що в цьому випадку 
Спробуємо узагальнити цей прийом на довільне плоский рух.
Виділимо відрізок АВ в перерізі твердого тіла (рис. 1.11). Переклад перетину з положення 1 в положення 2 можна розглядати як суперпозицію двох рухів: поступального з 1 в 1 'і обертального з 1' в 2 навколо точки A ', званої зазвичай полюсом (рис. 1.11а). Істотно, що в якості полюса можна вибрати будь-яку точку, що належить перетину або навіть лежить в площині перетин поза ним. На рис. 1.11б, наприклад, в якості полюса обрана точка В. Зверніть увагу: довжина шляху при поступальному переміщенні змінилася (в даному випадку збільшилася), але кут повороту залишився колишнім!
Наближаючи кінцеве положення тіла до початкового (скорочуючи розглянутий проміжок часу), приходимо до висновку: плоский рух твердого тіла в будь-який момент часу можна представити як суперпозицію поступального руху зі швидкістю деякої точки, обраної в якості полюса, і обертання навколо осі, що проходить через полюс. В реальній ситуації обидва ці рухи, природно, відбуваються одночасно. Істотно, що розкладання на поступальний і обертальний руху виявляється неоднозначним, причому в залежності від вибору полюса швидкість поступального руху буде змінюватися, а кутова швидкість обертання залишиться незмінною.
У відповідності зі сказаним швидкість будь-якої точки А тіла (рис. 1.12) геометрично складається з швидкості будь-якої іншої точки O, прийнятої за полюс, і швидкості обертального руху навколо цього полюса. Нагадаємо, що система координат XYZ на рис. 1.12 - нерухома (лабораторна); початок системи x0y0z0 поміщено в деяку точку О тіла (полюс), а сама система x0y0z0 рухається щодо XYZ поступально, причому так, що осі Oy0 і Oz0 залишаються в площині малюнка. Вже згадана точка А тіла також рухається в площині малюнка (плоский рух!).
Радіус-вектор точки А
Швидкість точки А
З (1.16) можна зробити висновок, що в будь-який момент часу повинна існувати така точка M, швидкість якої в лабораторній системі XYZ дорівнює нулю - для цієї точки
(Рис. 1.13). Зауважимо, що ця точка не обов'язково повинна належати тілу, тобто може знаходитися і поза ним. Таким чином, плоский рух твердого тіла в даний момент часу можна уявити як чисте обертання навколо осі, що проходить через точку M - така вісь називається зазвичай миттєвої віссю обертання. Зокрема, для колеса, що котиться по площині без прослизання (рис. 1.10), миттєва вісь обертання проходить через точку М зіткнення колеса з площиною.
Істотно, що в різні моменти часу миттєва вісь обертання проходить через різні точки твердого тіла і через різні точки лабораторної системи XYZ, зберігаючи, звичайно, свою орієнтацію в просторі.
Для того, щоб визначити положення миттєвої осі обертання, необхідно знати швидкості будь-яких двох точок твердого тіла. Так, на рис. 1.14 показано положення миттєвої осі обертання (точка М) для циліндра, затиснутого між двома паралельними рейками, які рухаються в одну і ту ж сторону з різними швидкостями 
і 
У ситуації, зображеної на рис. 1.15, стрижень AB спирається на точку С і рухається в площині креслення так, що його кінець B весь час знаходиться на півкола CBD При цьому миттєва вісь обертання стержня (точка М) знаходиться на верхній півкола CMD і при русі точки B вправо переміщається по дузі цієї півкола вліво.
У випадку, показаному на рис. 1.16, стрижень, який спирається одним зі своїх кінців на гладку горизонтальну площину, починає падати з вертикального положення. При цьому центр мас стержня опускається, залишаючись на одній і тій же вертикалі. Миттєва вісь обертання (точка М) переміщається по дузі кола радіуса 
( 
- довжина стрижня).
Знаючи кутову швидкість 
і положення миттєвої осі обертання, можна легко визначити швидкість будь-якої точки тіла при його плоскому русі. Так, в разі колеса, що котиться по площині зі швидкістю без прослизання (рис. 1.17), швидкість точки В
вектор 
перпендикулярний відрізку в МВ, що з'єднує точку В з точкою М, через яку проходить миттєва вісь обертання. природно, можна уявити і як геометричну суму двох швидкостей: 
- швидкості поступального руху осі колеса і 
- швидкості обертального руху навколо цієї осі, причому 
(Рис. 1.17).
Мал. 1.18 ілюструє розподіл швидкостей на вертикальному діаметрі колеса залізничного вагона. Миттєва вісь обертання проходить через точку М зіткнення колеса з рейкою. Добре видно, що лінійна швидкість точки на краю реборди спрямована в бік, протилежний руху вагона.
Визначимо тепер прискорення точок тіла при плоскому русі. Диференціюючи виразом (1.16) за часом, отримаємо для прискорення точки А
Це прискорення складається з трьох частот (рис. 1.19): прискорення 
точки O, прийнятої за полюс, тангенціального прискорення
і нормального прискорення
(скалярний добуток 
дорівнює нулю, так як 
).
Таким чином, прискорення будь-якої точки А тіла при плоскому русі дорівнює геометричній сумі прискорення точки, прийнятої за полюс, і прискорення точк, прийнятої за полюс, і прискорення точки A за рахунок її обертання навколо цього полюса. Звідси, зокрема, випливає, що прискорення будь-якої точки колеса, що котиться без проковзування по площині з постійною швидкістю , Направлено до центру колеса і так само 
де 
- відстань даної точки до центру колеса. У цьому прикладі в якості полюса зручно вибрати центр колеса О, тоді 
і залишається тільки 
Зауваження. За аналогією з миттєвою віссю обертання можна ввести миттєву вісь, прискорення всіх точок якої в даний момент часу дорівнюють нулю. При цьому слід мати на увазі, що ця вісь, взагалі кажучи, не збігається з миттєвою віссю обертання. Так, в прикладі з колесом, що котиться по площині з постійною швидкістю, вона проходить через центр колеса.
назад | вперед