1. 3.3.3 Безперервні функції Поняття безперервності функції, так само як і поняття межі, є одним з основних...
2. 3.3.3.2 Властивості неперервних функцій
3. 3.3.3.3 Точки розриву функцій і їх класифікація
4. 3.3.4 Диференціювання з допомогою пакета Maxima
5. 3.3.4.1 Обчислення похідних і диференціалів

3.3.3 Безперервні функції

Поняття безперервності функції, так само як і поняття межі, є одним з основних понять математичного аналізу.

3.3.3.1 Безперервність функції в точці

Дамо два визначення поняття безперервності функції в точці.

Мал.3.1.

Визначення безперервної функції

Визначення 1. функція називається неперервною в точці , Якщо вона задовольняє трьом умовам: 1) визначена в деякому околі точки , 2) існує кінцевий межа l ця межа дорівнює значенню функції в точці , Тобто . Очевидно, що безперервність функції в даній точці виражається безперервністю її графіка при проходженні даної точки.

Розглянемо друге визначення безперервності функції в точці.

надамо аргументу приріст . тоді функція одержить збільшення , Яке визначається як різниця нарощеного і вихідного значення функції: (Див. Мал. 3.1 ).

Визначення 2. функція називається неперервною в точці , Якщо вона визначена в деякому околі точки , І приріст її в цій точці, відповідне збільшенню , Прагне до нуля при прагненні до нуля: .

В інструкціях з математичного аналізу доводиться, що обидва визначення рівносильні.

Приклад дослідження безперервності функції з Maxima:

функція

має можливу точку розриву при . Порівняємо межі даної функції при прагненні до 1 зліва і справа: (% i16) f (x): = 1 / (1 + exp (1 / (1-x))); (% I17) limit (f (x), x, 1, plus); (% I18) limit (f (x), x, 1, minus);

Межі не збігаються, тому робимо висновок, що досліджувана функція розривна.

3.3.3.2 Властивості неперервних функцій

1. якщо функції і безперервні в точці , То їх сума , твір, добуток , І приватна (за умови, що ) Є функціями, безперервними в точці .
2. якщо функція неперервна в точці і , То існує така околиця точки a, в якій .
3. якщо функція неперервна в точці , А функція неперервна в точці , То складна функція неперервна в точці .

   Властивість 3 може бути записано у вигляді:

   тобто під знаком безперервної функції можна переходити до межі.

функція називається неперервною на проміжку , Якщо вона неперервна в кожній точці цього проміжку. Можна довести, що всі елементарні функції неперервні в області їх визначення.

3.3.3.3 Точки розриву функцій і їх класифікація

Крапка , Що належить області визначення функції або є граничною для цієї області, називається точкою розриву функції , Якщо в цій точці порушується умова безперервності функції.

Якщо існують кінцеві межі причому в повному обсязі три числа рівні між собою, то точка називається точкою розриву 1 роду (існують кінцеві односторонні межі функції зліва і справа, не рівні один одному).

Точки розриву 1 роду поділяються, в свою чергу, на точки усувного розриву (коли , Тобто коли лівий і правий межі функції в точці a рівні між собою, але не дорівнюють значенню функції в цій точці) і на точки стрибка (коли , Тобто коли лівий і правий межі функції в точці різні); в останньому випадку різниця називається стрибком функції в точці .

Точки розриву, які не є точками розриву 1 роду, називаються точками розриву 2 роду. У точках розриву 2 роду не існує хоча б один з односторонніх меж.

Розглянемо попередній приклад. функція

має точку розриву при .

Так як межі і не збігаються, але обидва кінцеві, робимо висновок про наявність точки розриву першого роду при .

Графічну ілюстрацію отримуємо за допомогою wxMaxima (див. Мал. 3.2 ).

3.3.4 Диференціювання з допомогою пакета Maxima

Пакет Maxima надає потужні засоби для диференціювання функцій і обчислення диференціалів. Для обчислення найпростішої похідної слід в командному вікні після запрошення Maxima ввести команду такого вигляду: diff (<функція>, <змінна>); де <функція> - вираз, що задає функцію (не обов'язково однієї змінної), наприклад x ^ 2 + 2 * x + 1; <Змінна> - ім'я змінної, по якій буде вестися диференціювання, наприклад .

Прикладом обчислення похідної може служити така команда: diff (x ^ 2 + 2 * x + 1, x); .

За допомогою команди можна обчислювати похідні вищих порядків. При цьому команда має такий вигляд: (<Функція>, <змінна>, <порядок>); де <порядок> - порядок обчислюється похідної.

У рішеннях деяких прикладів цієї глави за допомогою Maxima будуть використані додаткові команди Maxima:

3.3.4.1 Обчислення похідних і диференціалів

Для обчислення похідної функції використовується функція , Для обчислення похідних різного порядку зручно створити для користувача функцію (в прикладі нижче - ):

Приклад обчислення диференціала ( рівноцінно , Не зазначена явно змінна диференціювання):

Аналогічний підхід можна застосувати і для функції кількох змінних. функція з єдиним аргументом - дифференцируемой функцією - повертає повний диференціал.

приклад:

приклад:

Якщо вказати апостроф перед символом , То похідна немає обчислюється і спрощення, зазвичай передбачене за замовчуванням, не здійснюється.

приклад:

створюємо функцію :

(% I18) f (x, z): = x ^ 2 * z + z ^ 2 * x;

Обчислюємо диференціальне вираз:

(% I19) diff (f (x, z), x, 2) + diff (f (x, z), z, 3) + diff (f (x, z), x) * x ^ 2;

Виробляємо формальне диференціювання, що не обчислюючи безпосередньо результат:

(% I20) 'diff (f (x, z), x, 2) +' diff (f (x, z), z, 3) + 'diff (f (x, z), x) * x ^ 2 ;