З часів дослідів Галілея на Пізанської вежі відомо, що всі тіла падають в полі сили тяжіння з однаковим прискоренням g.

Однак щоденна практика вказує на інше: легка пір'їнка падає повільніше важкого металевого кульки. Зрозуміла і причина цього - опір повітря.

Рівняння руху. Якщо обмежитися випадком поступального руху не обертаються тел в нерухомому середовищі з опором, то сила опору буде спрямована проти швидкості. У векторному вигляді її можна записати як

де - абсолютна величина цієї сили, a - модуль швидкості тіла. Облік опору середовища змінює вид рівнянь руху тіла, кинутого під кутом до горизонту:

У наведених рівняннях враховано також виштовхує сила Архімеда, яка діє на тіло: прискорення вільного падіння g замінено на меншу величину

де - щільність середовища (для повітря = 1.29 кг / м3), а - середня щільність тіла.

Дійсно, вага тіла в середовищі зменшується на величину сили, що виштовхує Архімеда

висловлюючи обсяг тіла через його середню щільність

приходимо до виразу

При наявності опору повітря швидкість падаючого тіла не може рости безмежно. У межі вона прагне до деякого сталого значення, яке залежить від характеристик тіла. Якщо тіло досягло сталої швидкості падіння , То з рівнянь руху слід, що сила опору дорівнює вазі тіла (з урахуванням сили Архімеда):

сила опору як ми незабаром переконаємося, є функція швидкості падіння. Стало бути, отриманий вираз для сили опору являє собою рівняння для визначення сталої швидкості падіння . Ясно, що при наявності середовища енергія тіла частково витрачається на подолання її опору.

Число Рейнольдса. Зрозуміло, рівняння руху тіла в рідині неможливо навіть почати вирішувати, поки нам нічого невідомо про модулі сили опору. Величина цієї сили істотно залежить від характеру обтікання тіла зустрічним потоком газу (або рідини). При малих швидкостях цей потік є ламінарним (тобто шаруватим). Його можна уявити собі як відносне рух не змішуються між собою шарів середовища.

Ламінарний плин рідини демонструється на досвіді, показаному на рис. 13.

Як уже зазначалося в розділі 9.3, при відносному русі шарів рідини або газу між цими шарами виникають сили опору руху, які називаються силами внутрішнього тертя. Ці сили обумовлені особливим властивістю текучих тіл - в'язкістю, яка характеризується чисельно коефіцієнтом в'язкості . Наведемо характерні значення для різних речовин: для повітря ( = 1,8 · 10-5 Па · с), води ( = 10-3 Па · с), гліцерину ( = 0,85 Па · с). Еквівалентну позначення одиниць, в яких вимірюється коефіцієнт в'язкості: Па · с = кг · м-1 · с-1.

Між рухомим тілом і середовищем завжди існують сили зчеплення, так що безпосередньо поблизу поверхні тіла шар газу (рідини) повністю затримується, як би «прилипаючи» до нього. Він треться об наступний шар, який злегка відстає від тіла. Той, в свою чергу, відчуває силу тертя з боку ще більш віддаленого шару і т.д. Зовсім далекі від тіла шари можна вважати, що покояться. Теоретичний розрахунок внутрішнього тертя для руху кульки діаметром D призводить до формули Стокса:

підставляючи формулу Стокса в вираз для сили опору при усталеному русі, знаходимо вираз для сталої швидкості падіння кульки в середовищі:

Видно, що чим легше тіло, тим менше швидкість його падіння в атмосфері. Отримане рівняння пояснює нам, чому пушинка падає повільніше, ніж сталева кулька.

При вирішенні реальних завдань, наприклад, обчисленні сталої швидкості падіння парашутиста при затяжному стрибку, не слід забувати, що сила тертя пропорційна швидкості тіла лише для відносно повільного ламинарного зустрічного потоку повітря. При збільшенні швидкості тіла навколо нього виникають повітряні вихори, шари перемішуються, рух в якийсь момент стає турбулентним, і сила опору різко зростає. Внутрішнє тертя (в'язкість) перестає грати скільки б то не було помітну роль.

Мал. 9.15 Фотографія струменя рідини при переході від ламінарного течії до турбулентного (число Рейнольдса Re = 250)

Виникнення сили опору можна тоді уявити собі таким чином. Нехай тіло пройшло в середовищі шлях . При силі опору на це витрачається робота

Якщо площа поперечного перерізу тіла дорівнює , То тіло «наштовхнеться» на частки, що займають обсяг . Повна маса частинок в цьому обсязі дорівнює · Уявімо, що ці частинки повністю захоплюються тілом, набуваючи швидкість . Тоді їх кінетична енергія стає рівною

Ця енергія не з'явилася нізвідки: вона створена за рахунок роботи зовнішніх сил щодо подолання сили опору. Стало бути, A = К, звідки

Ми бачимо, що тепер сила опору сильніше залежить від швидкості руху, стаючи пропорційної її другого ступеня (пор. З формулою Стокса). На відміну від сил внутрішнього тертя її часто називають силою динамічного лобового опору.

Однак припущення про повну захопленні частинок середовища рухомим тілом виявляється занадто сильним. У реальності будь-яке тіло так чи інакше обтекается потоком, що зменшує силу опору. Прийнято використовувати так званий коефіцієнт опору C, записуючи силу лобового опору у вигляді:

При турбулентному потоці в деякому інтервалі швидкостей C не залежить від швидкості руху тіла, але залежить від його форми: скажімо, для диска він дорівнює одиниці, а для кулі приблизно 0,5.

Підставляючи формулу для сили лобового опору в вираз для сили опору при усталеному русі, приходимо до іншого, ніж раніше отримана формула, висловом для сталої швидкості падіння кулі (при C = 0,5):

Застосовуючи знайдену формулу до руху парашутиста вагою 100 кг з поперечним розміром парашута 10 м, знаходимо

що відповідає швидкості приземлення при стрибку без парашута з висоти 2 м. Видно, що для опису руху парашутиста більше підходить формула, відповідна турбулентному потоку повітря.

Вираз для сили опору з коефіцієнтом опору зручно використовувати в усьому інтервалі швидкостей. Оскільки при малих швидкостях режим опору змінюється, то коефіцієнт опору в області ламінарного течії і в перехідній області до турбулентному течією буде залежати від швидкості тіла. Однак пряма залежність C від неможлива, оскільки коефіцієнт опору безрозміряний. Значить, він може бути лише функцією якийсь безрозмірною комбінації за участю швидкості. Така комбінація, яка відіграє важливу роль в гідро- і аеродинаміки, називається числом Рейнольдса (Див. Тему 1.3).

число Рейнольдса - це параметр, що описує зміну режиму при переході від ламінарного течії до турбулентного. Таким параметром може служити відношення сили лобового опору до сили внутрішнього тертя. Підставляючи в формулу для сили опору вираз для площі поперечного перерізу кулі , Переконуємося, що величина сили лобового опору з точністю до несуттєвих зараз числових чинників визначається виразом

а величина сили внутрішнього тертя - виразом

Ставлення цих двох виразів і є число Рейнольдса:

Якщо мова йде не про рух кулі, то під D розуміється характерний розмір системи (скажімо, діаметр труби в завданню про перебіг рідини). По самому змістом числа Рейнольдса ясно, що при його малих значеннях домінують сили внутрішнього тертя: в'язкість велика і ми маємо справу з ламінарним потоком. При великих значеннях числа Рейнольдса, навпаки, домінують сили динамічного лобового опору і потік стає турбулентним.

Число Рейнольдса має величезне значення при моделюванні реальних процесів в менших (лабораторних) масштабах. Якщо для двох течій різних розмірів числа Рейнольдса однакові, то такі течії подібні, і виникають в них явища можуть бути отримані одна з одної простим зміною масштабу вимірювання координат і швидкостей. Тому, наприклад, на моделі літака або автомобіля в аеродинамічній трубі можна передбачити і вивчити процеси, які виникнуть в процесі реальної експлуатації.

Коефіцієнт опору. Отже, коефіцієнт опору у формулі для сили опору залежить від числа Рейнольдса:

Ця залежність має складний характер, показаний (для кулі) на рис. 9.16. Теоретично отримати цю криву важко, і звичайно використовують залежності, експериментально виміряні для даного тіла. Однак можлива якісна її інтерпретація.

Мал. 9.16. Залежність коефіцієнта опору від числа Рейнол'дса (римськими цифрами показані області значень Re; яким відповідають різні режими течії повітряного потоку)

Область I. Тут число Рейнольдса дуже мало ( <1) і протягом потоку ламінарно. Експериментальна крива описується в цій області функцією

При підстановці цього значення в знайдену раніше формулу для сили опору і використанні і вирази для числа Рейнольдса ми приходимо до формули Стокса. У цій області, як уже говорилося, опір виникає внаслідок в'язкості середовища.

Область II. Тут число Рейнольдса лежить в інтервалі 1 < <2 · 104. Дана область відповідає переходу від ламінарного до турбулентного течією. Експериментальні дані свідчать, що при збільшенні числа Рейнольдса досягається деяке його критичне значення, після якого стаціонарне ламінарний плин стає нестійким. Зрозуміло, це критичного значення не універсально і розрізняється для різних типів течій. Але його характерна величина порядку декількох десятків.

при лише злегка великих критичного значення з'являється нестаціонарне періодичне рух потоку, що характеризується певною частотою. При подальшому збільшенні періодичне рух ускладнюється, і в ньому з'являються нові і нові частоти. Цим частотам відповідають періодичні руху (вихори), просторові масштаби яких стають все більш дрібними. Рух набуває більш складний і заплутаний характер - розвивається турбулентність. У даній області коефіцієнт опору продовжує падати з ростом , Але повільніше. Мінімум досягається при = (4-5) · 103, слідом за чим З дещо підвищується.

Область III. Ця область відповідає розвиненому турбулентному течією потоку навколо кулі, а з цим режимом ми вже зустрічалися вище. Характерні тут значення числа Рейнольдса лежать в інтервалі 2 · 104 < <2 · 105.

При русі тіло залишає за собою турбулентний слід, за межами якого протягом ламінарно. Вихровий турбулентний слід легко спостерігати, наприклад, за кормою корабля. Частина поверхні тіла безпосередньо примикає до області турбулентного сліду, а його передня частина - до області ламінарного течії. Кордон між ними на поверхні тіла називається лінією відриву. Фізичною причиною виникнення сили опору є різниця тисків на передній і задній поверхнях тіла. Виявляється, що положення лінії відриву визначається властивостями прикордонного шару і не залежить від числа Рейнольдса. Тому коефіцієнт опору приблизно постійний в цьому режимі.

Область IV. Однак такий режим обтікання тіла не може підтримуватися до як завгодно великих значень . У якийсь момент передній ламінарний прикордонний шар турбулізуючими, що відсуває назад лінію відриву. Турбулентний слід за тілом звужується, що призводить до різкого (в 4-5 разів) падіння опору середовища. Це явище, назване кризою опору, відбувається у вузькому інтервалі значень = (2-2,5) · 105. Строго кажучи, наведені теоретичні міркування можуть змінитися при обліку стисливості середовища (повітря, в нашому випадку). Однак це проявиться, як ми вже обговорювали, при швидкостях об'єктів, порівнянних зі швидкістю звуку.

додаткова інформація

http://ilib.mirror1.mccme.ru/djvu/bib-kvant/kvant_70.djvu - Стосунки А.Л. Фізика польоту, Бібліотечка Квант, випуск 70 стор. 17-28 - аеродинамічні сили, що діють на крило.

http://d.theupload.info/down/8osiz73swyx22j1icv3641f3xxe8rtdp/butikov_e_i__kondratev_a_s__fizika_dlja_uglublennogo_izuchen.djvu - Є.І. Бутиків, А.С.Кондратьев, Навчальний посібник; Кн. 1, Механіка, Фізматліт, 2001 г. - глава V - рух рідин і газів.

Список додаткових посилань

http://kvant.mirror1.mccme.ru/pdf/1998/02/kv0298fizfak.pdf - журнал «Квант» - математичний маятник на похилих поверхнях (П. Хаджі, А. Михайленко).

http://kvant.mirror1.mccme.ru/1971/06/strannyj_mayatnik.htm - журнал «Квант» - математичний маятник з рухомою точкою підвісу (Н. Мінц);

http://edu.ioffe.ru/register/?doc=physica/lect4.ch1.tex - В лекції розглядаються гармонійні коливання, фазовий портрет маятника, адіабатичні інваріанти.

http://www.plib.ru/library/book/9969.html - Є.І. Бутиків, А.С. Кондратьєв, Навчальний посібник; Кн. 1, Механіка, Фізматліт, 2001 г. - стор. 279-295 (§§ 42,43) - описані затухаючі коливання при сухому терті і власні коливання в різних фізичних системах.

http://mechanics.h1.ru/ - Механіка в школі, визначення основних фізичних величин, рішення задач.

http://edu.ioffe.ru/register/?doc=mgivanov - Курс лекцій з механіки для фізико-технічної школи (М.Г. Іванов).

http://ilib.mirror1.mccme.ru/djvu/bib-kvant/kvant63.djvu - Асламазов Л.Г., Варламов А.А. Дивовижна фізика, Бібліотечка Квант, випуск 63, глава 2 - проста фізика складних явищ.

http://schools.keldysh.ru/sch1275/kross/ - Фізичні кросворди.

http://www.newsland.ru/News/Detail/id/211926/22 - Обговорюється можливість створення звукової та оптичної «шапки-невидимки».

http://ilib.mirror1.mccme.ru/djvu/bib-kvant/kvant_40.djvu - Хилькевич С.С., Фізика навколо нас, бібліотечка Квант, випуск 40, розділ 1, § 5 - як діє на суміш вібрація і що відбувається при струшуванні відра з картоплею.