1. Декартова система координат [ правити | правити код ]
2. Циліндрична система координат [ правити | правити код ]

Сферичними координатами називають систему координат для відображення геометричних властивостей фігури в трьох вимірах за допомогою завдання трьох координат (r, θ, φ) {\ displaystyle (r, \; \ theta, \; \ varphi)} , Де r {\ displaystyle r} - найкоротша відстань до початку координат (Радіальне відстань), а θ {\ displaystyle \ theta} і φ {\ displaystyle \ varphi} - зенітний і азимутальний кути відповідно.

поняття зеніт і азимут широко використовуються в астрономії . Взагалі зеніт - це напрямок вертикального підйому над довільно вибраним пунктом (точкою спостереження), що належить так званій фундаментальної площини . У якості фундаментальної площини в астрономії може бути обрана площину, в якій лежить екватор, або площину, в якій лежить горизонт, або площину екліптики і т. Д., Що породжує різні системи небесних координат. Азимут - кут між довільно обраним променем фундаментальної площини з початком в точці спостереження та іншим променем цій площині, мають спільний початок з першим.

Щодо нашого малюнку сферичної системи координат, фундаментальна площина - це площина xy. Зеніт - якась віддалена точка, що лежить на осі Z і видима з початку координат. Азимут відраховується від осі X до проекції радіус-вектора r на площину xy. Це пояснює назви кутів, як і те, що сферична система координат може служити узагальненням (нехай хоча б і наближеним) безлічі видів систем небесних координат .

Три координати (r, θ, φ) {\ displaystyle (r, \; \ theta, \; \ varphi)} точки P {\ displaystyle P} вводяться за допомогою декартової системи координат . криволінійні координатні лінії , Що проходять через точку P {\ displaystyle P} , Утворюються при зміні однієї координати при фіксованих інших. За направлення координатної лінії в точці P {\ displaystyle P} приймається напрям зростання відповідної координати. Вектори базису (rr, r θ, r φ) {\ displaystyle ({\ mathsf {r}} _ {r}, {\ mathsf {r}} _ {\ theta}, {\ mathsf {r}} _ {\ varphi})} в точці P {\ displaystyle P} є приватними похідними радіус - вектора O P {\ displaystyle OP} по змінним (r, θ, φ) {\ displaystyle (r, \; \ theta, \; \ varphi)} і становлять праву трійку.

Кут θ {\ displaystyle \ theta} називається зенітним, або полярним, або нормальним, а також він може бути названий англійським словом colatitude, а кут φ {\ displaystyle \ varphi} - азимутним. Кути θ {\ displaystyle \ theta} і φ {\ displaystyle \ varphi} не мають значення при r = 0 {\ displaystyle r = 0} , А φ {\ displaystyle \ varphi} не має значення при sin ⁡ (θ) = 0 {\ displaystyle \ sin (\ theta) = 0} (Тобто при θ = 0 {\ displaystyle \ theta = 0} або θ = 180 ∘ {\ displaystyle \ theta = 180 ^ {\ circ}} ).

Така угода встановлено в стандарті ( ISO 31-11 ru en). Крім того може використовуватися угода, коли замість зенітного кута θ {\ displaystyle \ theta} , Використовується кут між радіус-вектором точки r і площиною xy, рівний 90 ∘ {\ displaystyle 90 ^ {\ circ}} - θ {\ displaystyle \ theta} . Він називається широтою і може бути позначений тією самою літерою θ {\ displaystyle \ theta} . Широта може змінюватися в межах - 90 ∘ ⩽ θ ⩽ 90 ∘ {\ displaystyle -90 ^ {\ circ} \ leqslant \ theta \ leqslant 90 ^ {\ circ}} . При цьому угоді кути θ {\ displaystyle \ theta} і φ {\ displaystyle \ varphi} не мають значення при r = 0 {\ displaystyle r = 0} , Так само як і в першому випадку, а φ {\ displaystyle \ varphi} не має значення при cos ⁡ (θ) = 0 {\ displaystyle \ cos (\ theta) = 0} (Тобто при θ = - 90 ∘ {\ displaystyle \ theta = -90 ^ {\ circ}} або θ = 90 ∘ {\ displaystyle \ theta = 90 ^ {\ circ}} ).

Часто, за аналогією з циліндричної системою координат (r, φ, z) {\ displaystyle (r, \; \ varphi, \; {\ mathsf {z}})} , Яка є правою, використовують сферичну систему координат (r, φ, θ) {\ displaystyle (r, \; \ varphi, \; \ theta)} , Де змінено порядок проходження координат на відміну від певного вище. Така система координат є лівою, так як вектори базису (rr, r φ, r θ) {\ displaystyle ({\ mathsf {r}} _ {r}, {\ mathsf {r}} _ {\ varphi}, {\ mathsf {r}} _ {\ theta})} при визначенні області зміни кута θ: {\ displaystyle \ theta} 0 ⩽ θ ⩽ 180 ∘ {\ displaystyle 0 \ leqslant \ theta \ leqslant 180 ^ {\ circ}} складають ліву трійку векторів (промінь з точки P {\ displaystyle P} , Спрямований у зазначеній послідовності на кінці векторів, рухається проти годинникової стрілки), в той час як вихідна системі координат (x, y, z) {\ displaystyle (x, y, z)} є правою. Для векторних операцій при переході від однієї системи координат до іншої істотно, щоб права система переходила в праву. Сферична система координат (r, φ, θ ') {\ displaystyle (r, \; \ varphi, \; \ theta')} буде правою, якщо визначити кут θ '{\ displaystyle \ theta'} наступним чином: θ '= 180 ∘ - θ, 0 ⩽ θ ⩽ 180 ∘ {\ displaystyle \ theta' = 180 ^ {\ circ} - \ theta, 0 \ leqslant \ theta \ leqslant 180 ^ {\ circ}} .

Декартова система координат [ правити | правити код ]

Якщо задані сферичні координати точки (r, θ, φ) {\ displaystyle (r, \; \ theta, \; \ varphi)} , То перехід до декартових здійснюється за формулами:

{X = r sin ⁡ θ cos ⁡ φ, y = r sin ⁡ θ sin ⁡ φ, z = r cos ⁡ θ. {\ Displaystyle {\ begin {cases} x = r \ sin \ theta \ cos \ varphi, \\ y = r \ sin \ theta \ sin \ varphi, \\ z = r \ cos \ theta. \ End {cases} }}

Назад, від декартових до сферичним:

{R = x 2 + y 2 + z 2, θ = arccos ⁡ (z x 2 + y 2 + z 2) = a r c t g (x 2 + y 2 z), φ = a r c t g (y x). {\ Displaystyle {\ begin {cases} r = {\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2}}}, \\\ theta = \ arccos \ left ({\ dfrac {z } {\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2}}}} \ right) = \ mathrm {arctg} \ left ({\ dfrac {\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}} {z}} \ right), \\\ varphi = \ mathrm {arctg} \ left ({\ dfrac {y} {x}} \ right). \ end {cases}}}

(Тут, звичайно, потрібен певний природне уточнення для значень φ {\ displaystyle \ varphi} поза першого октанта ; то ж для всіх формул з арктангенсом тут і нижче; втім, заміна на відповідну формулу з арккосинуса знімає це питання щодо координати θ {\ displaystyle \ theta} ).

якобіан перетворення до сферичних координат має вигляд:

J = r 2 sin ⁡ θ. {\ Displaystyle J = r ^ {2} \ sin \ theta. \}

Таким чином, елемент обсягу при переході від декартових до сферичних координат буде виглядати наступним чином:

d V = dxdydz = J (r, θ, φ) drd θ d φ = r 2 sin ⁡ θ drd θ d φ {\ displaystyle \ mathrm {d} V = \ mathrm {d} x \, \ mathrm {d} y \, \ mathrm {d} z = J (r, \ theta, \ varphi) \, \ mathrm {d} r \, \ mathrm {d} \ theta \, \ mathrm {d} \ varphi = r ^ { 2} \ sin \ theta \, \, \ mathrm {d} r \, \ mathrm {d} \ theta \, \ mathrm {d} \ varphi}

Циліндрична система координат [ правити | правити код ]

Якщо задані сферичні координати точки, то перехід до циліндричних здійснюється за формулами:

{Ρ = r sin ⁡ θ, φ = φ, z = r cos ⁡ θ. {\ Displaystyle {\ begin {cases} \ rho = r \ sin \ theta, \\\ varphi = \ varphi, \\ z = r \ cos \ theta. \ End {cases}}}

Назад від циліндричних до сферичним:

{R = ρ 2 + z 2, θ = a r c t g (ρ z), φ = φ. {\ Displaystyle {\ begin {cases} r = {\ sqrt {\ rho ^ {2} + z ^ {2}}}, \\\ theta = \ mathrm {arctg} \ left ({\ dfrac {\ rho} {z}} \ right), \\\ varphi = \ varphi. \ end {cases}}}

якобіан перетворення від сферичних до циліндричних:

J = r. {\ Displaystyle J = r. \}

Вектор d r {\ displaystyle \ mathrm {d} \ mathbf {r}} , Проведений з точки (r, θ, φ) {\ displaystyle (r, \ theta, \ varphi)} в точку (r + dr, θ + d θ, φ + d φ) {\ displaystyle (r + \ mathrm {d} r, \, \ theta + \ mathrm {d} \ theta, \, \ varphi + \ mathrm { d} \ varphi)} , дорівнює

dr = drr ^ + rd θ θ ^ + r sin ⁡ θ d φ φ ^, {\ displaystyle \ mathrm {d} \ mathbf {r} = \ mathrm {d} r \, {\ boldsymbol {\ hat {r} }} + r \, \ mathrm {d} \ theta \, {\ boldsymbol {\ hat {\ theta}}} + r \ sin {\ theta} \, \ mathrm {d} \ varphi \, \ mathbf {\ boldsymbol {\ hat {\ varphi}}}}

де

r ^ = sin ⁡ θ cos ⁡ φ ı ^ + sin ⁡ θ sin ⁡ φ ȷ ^ + cos ⁡ θ k ^ {\ displaystyle {\ boldsymbol {\ hat {r}}} = \ sin \ theta \ cos \ varphi { \ boldsymbol {\ hat {\ imath}}} + \ sin \ theta \ sin \ varphi {\ boldsymbol {\ hat {\ jmath}}} + \ cos \ theta {\ boldsymbol {\ hat {k}}}} θ ^ = cos ⁡ θ cos ⁡ φ ı ^ + cos ⁡ θ sin ⁡ φ ȷ ^ - sin ⁡ θ k ^ {\ displaystyle {\ boldsymbol {\ hat {\ theta}}} = \ cos \ theta \ cos \ varphi {\ boldsymbol {\ hat {\ imath}}} + \ cos \ theta \ sin \ varphi {\ boldsymbol {\ hat {\ jmath}}} - \ sin \ theta {\ boldsymbol {\ hat {k}}}} φ ^ = - sin ⁡ φ ı ^ + cos ⁡ φ ȷ ^ {\ displaystyle {\ boldsymbol {\ hat {\ varphi}}} = - \ sin \ varphi {\ boldsymbol {\ hat {\ imath}}} + \ cos \ varphi {\ boldsymbol {\ hat {\ jmath}}}}

ортогональні одиничні вектори сферичних координат в напрямку збільшення r, θ, φ {\ displaystyle r, \ theta, \ varphi} , Відповідно, а ı ^, ȷ ^, k ^ {\ displaystyle {\ boldsymbol {\ hat {\ imath}}}, {\ boldsymbol {\ hat {\ jmath}}}, {\ boldsymbol {\ hat {k} }}} - одиничні вектори декартових координат. Сферичні координати є ортогональними, тому метричний тензор має в них діагональний вигляд:

gij = (1 0 0 0 r 2 0 0 0 r 2 sin 2 ⁡ θ), gij = (1 0 0 0 1 r 2 0 0 0 1 r 2 sin 2 ⁡ θ) {\ displaystyle g_ {ij} = { \ begin {pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & r ^ {2} & 0 \\ 0 & 0 & r ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta \ end {pmatrix}}, \ quad g ^ {ij} = {\ begin {pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & {\ dfrac {1} {r ^ {2}}} & 0 \\ 0 & 0 & {\ dfrac {1} {r ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta}} \ end {pmatrix}} } d s 2 = d r 2 + r 2 d θ 2 + r 2 sin 2 ⁡ θ d φ 2. {\ Displaystyle ds ^ {2} = dr ^ {2} + r ^ {2} \, d \ theta ^ {2} + r ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta \, d \ varphi ^ { 2}.} H r = 1, H θ = r, H φ = r sin ⁡ θ. {\ Displaystyle H_ {r} = 1, \ quad H _ {\ theta} = r, \ quad H _ {\ varphi} = r \ sin \ theta.} Γ 22 1 = - r, Γ 33 1 = - r sin 2 ⁡ θ, {\ displaystyle \ Gamma _ {22} ^ {1} = - r, \ quad \ Gamma _ {33} ^ {1} = - r \ sin ^ {2} \ theta,} Γ 21 2 = Γ 12 2 = Γ 13 3 = Γ 31 3 = 1 r, {\ displaystyle \ Gamma _ {21} ^ {2} = \ Gamma _ {12} ^ {2} = \ Gamma _ {13} ^ {3} = \ Gamma _ {31} ^ {3} = {\ frac {1} {r}},} Γ 33 2 = - cos ⁡ θ sin ⁡ θ, Γ 23 3 = Γ 32 3 = c t g θ. {\ Displaystyle \ Gamma _ {33} ^ {2} = - \ cos \ theta \ sin \ theta, \ quad \ Gamma _ {23} ^ {3} = \ Gamma _ {32} ^ {3} = \ mathrm {ctg} \, \ theta.}

Решта дорівнюють нулю.