Рафаель Роузен

Математика для гиків

© Вікторія Тен, переклад

© ТОВ «Видавництво АСТ»

* * *

Присвячується Натаніель, Джолін і всім іншим членам моєї родини

Подяка

Я б не зміг написати цю книгу без допомоги безлічі людей. Я б хотів висловити особливу подяку професору математики в Університеті штату Канзас Дейву Оклі, а також президенту Математичної асоціації Америки і професору математики в коледжі Харві Мадд Френсісу Су за їх час і допомогу. Коли я загубився в математичних нетрях, їх прості пояснення допомогли мені знайти з них вихід. І звичайно, я хотів би подякувати моїм редакторів, які підтримували мене протягом усього письменницького процесу.

Я також хочу висловити подяку Джолін і Натаніель за їх терпіння, поки я годинами працював над завершенням даного проекту. Моя любов до вас безмежна.

0.1. Що значить бути божевільним на математиці?

Можливо, вам подобалися уроки математики в школі, а зараз ви розгадувати логічні головоломки у вільний час. А може, вас зацікавили різні відсилання до математики з поп-культури - Доказ, Числа, Гра в імітацію, Ігри розуму - і ви хочете дізнатися про неї більше. Може бути, ви інженер або фізик і щодня використовуєте складні математичні принципи. Можливо, вам складно дається розуміння цієї науки, але ви прагнете хоч одним оком поглянути на світ, який багато людей вважають, що зачаровує. А може, ви свого роду гик: врешті-решт, існує стільки ж різновидів математичних гиків, скільки і різних теорем.

Ким би ви не були, на сторінках цієї книги я сподіваюся показати, що математика - це не тільки ряд механічних вправ, які ви виконуєте в класі. Вам не доведеться нічого запам'ятовувати, і ніякого тесту в кінці не буде. Я сподіваюся переконати вас, що математика - це те, що вбудовано в структуру реальності: колекція фігур, прикладів, чисел, доказів і, скажімо, маленьких скарбів. Математика знаходиться в повітрі, яким ви дихаєте, на тротуарах, по яких ви ходите, і в автобусах, на яких ви щоранку добираєтеся до роботи. Що це означає? Щоб дізнатися це, вам доведеться продовжити читання.

Крім того, що я хочу показати, що математика - це жива складова світу, в якому ми живемо, я також сподіваюся переконати вас, що математика прекрасна. Я не маю на увазі, що рівняння добре виглядають на папері або що знаки «плюс» і «мінус» схожі на каліграфію. Я говорю про те, що вивчення математики схоже на милування заходом, на читання вірша або на прослуховування вашої улюбленої групи. У математиці є краса, від якої може перехопити подих. Ви коли-небудь виходили з кінотеатру після приголомшливої ​​драми, яка повністю захопила вашу свідомість акторською грою, декораціями і операторською роботою? Хочете вірте, а хочете ні, але математика саме така і є. Деякі математики навіть переконують, що ця наука повинна бути включена в список культурних еталонів, куди входять Шекспір, Моцарт і Мікеланджело. Ці математичні знавці вважають, що всі люди повинні вивчати математику, так як не вивчення її було б злочином, яке можна прирівняти до не читання Гамлета. Іншими словами, люди не повинні вивчати математику, тільки щоб отримати хорошу оцінку на іспиті. Замість цього вони повинні вивчати її, щоб збагатити своє життя.

Наша подорож по пошуку математики в нашому повсякденному житті призведе нас від піци до пончиків, від онлайн-покупок до системи навігації в наших смартфонах. Ми ближче ознайомимося з ситуаціями, коли ви цілу вічність стоїте на зупинці, але автобусів так і немає, а потім раптом два або три автобуси приїжджають одночасно. Ми зупинимося на вивченні дивних овочів з вашого найближчого супермаркету і зрозуміємо, як музика перетворюється в файл на вашому iPod. Ми навіть розберемося з тим, чому додаткові дороги можуть тільки погіршити пробки.

Як тільки ви дізнаєтеся про ці зачаровують математичних поняттях, які ховаються в світі навколо, ви почнете цінувати цю науку ще більше, настільки, що зможете поділитися цим з іншими пасажиром, коли автобус буде спізнюватися ... знову.

1. Частина 1. Фігури

1.1. Краса капусти Романеско

Математичне поняття: самоподоба

Ви коли-небудь розглядали фрукти і овочі в місцевому супермаркеті? Деякі з них виглядають просто моторошно: наприклад, жовтий цитрон пальчатий виглядає як восьминіг з твору Г. Ф. Лавкрафта. Інші ж дивним чином прекрасні. Солодкий картопля має чудову неоднорідною формою, схожою на безформні брили землі; в цибулі є такі ж кільця, які можна знайти в стовбурах дерев; а якщо розрізати яблуко поперек, можна побачити, що насіння розташовані у формі зірки. Це якимось дивним чином приносить задоволення. Навіть декоративна капуста - яка продається в садових магазинах - має особливу геометричну привабливість.

Але ніщо не може зрівнятися за красою в овочевому відділі з капустою романеско. Насправді, від неї важко відвести погляд. Романеско - це один із сортів Brassica oleracea, або просто капусти, вона має форму соснової шишки, але на її поверхні знаходиться велика кількість інших шишок меншого розміру, а на поверхні цих менших шишок знаходяться ще шишки і так далі. Кожна шишка меншого розміру виглядає як і вихідна, найбільша шишка, так що якщо ви вирішите зрізати з початкової шишки маленьку шишку і сфотографуєте її, а потім покладіть це зображення поряд з фотографією цілого суцвіття, то ви просто не зможете визначити, де яка шишка.

Математики скажуть, що форма капусти романеско самоподобна. Якщо ви збільшите зображення капусти і уважно придивіться до деталей, то побачите те ж саме, що б ви побачили, не збільшуючи це зображення. При самоподобу об'єкт виглядає однаково, незважаючи на його масштаб. Це також відмінна риса фракталів, які вивчав математик Бенуа Мандельброт, завдяки якому вони отримали широку популярність. Його книга «Фрактальна геометрія природи» (1982) допомогла представити цей вид об'єктів світу. (Ця книга, по суті, стала переробкою його книги «Фрактали: форма, випадковість і розмірність» 1977 року.) Мандельброт виявив безліч форм в природі, які мали самоподобна структуру: порізана берегова лінія, хмари і вишуканий візерунок жилок в листі. Здається, що природа любить самоподібні форми; чим більше ви будете їх шукати, тим більше ви їх знайдете.

Бенуа Мандельброт також вивчав те, що зараз називається безліччю Мандельброта, це безліч комплексних чисел в послідовності, яка не йде в нескінченність. Коли ви зображує безліч Мандельброта на графіку, воно набуває округлої опуклу форму, яка цікава математикам частково тому, що чим більше ви збільшуєте якусь частину, тим більше деталей ви бачите. Насправді, коли ви збільшуєте зображення, ви знову і знову починаєте бачити вихідну форму множини Мандельброта.

1.2. Вимірюємо довжину берегової лінії: не так просто, як здається

Математичне поняття: система вимірювань

Що може бути простіше вимірювання довжини чого-небудь? Якщо ми, наприклад, хочемо дізнатися довжину столу, то для цього можна використовувати рулетку. Якщо ми хочемо дізнатися дистанцію від одного міста до іншого, ми можемо записати свідчення одометра в машині. Або можна взяти карту і за допомогою лінійки вирахувати дистанцію між двома містами, а потім, використовуючи масштаб карти, перевести сантиметри в кілометри або дюйми в милі.

Але ось вимір берегової лінії - це більш складний процес. Виявляється, що довжина кожної окремо взятої берегової лінії залежить від довжини пристрою, який використовується для її вимірювання. Як правило, чим менше вимірювальний пристрій, тим довше берегова лінія. Теоретично, у міру того, як вимірювальний пристрій стає все менше і менше, довжина берегової лінії збільшується до нескінченності. Як таке можливо?

Як і багато інших форм в природі, берегові лінії мають порізаний і неправильну форму. Таким чином, чим ближче ви розглядаєте її, тим більше деталей помічаєте. Наприклад, якби ви дивилися на Північну Америку з висоти супутника, то берегова лінія здавалася б відносно гладкої, без особливих відмінностей. Але якщо ви самі йдете по береговій лінії, крім усього іншого, ви помічаєте вузькі затоки, невеликі виступи берега і камені. А якщо ви опустіться на коліна, то зможете розгледіти кожен камінчик і листочок. Якщо ви скористаєтеся мікроскопом, то ваші вимірювання дійдуть і до молекул. На кожному новому рівні деталізації ваші одиниці виміру зменшуються від кілометра до метра, від сантиметра до мікрометра; і кожен раз територія вимірювання збільшується. Якби вам треба було виміряти берегову лінію Великобританії, використовуючи палицю довжиною 100 км (близько 62 миль), то кінцева довжина склала б понад 2800 км (приблизно 1700 миль). Але якби ви зменшили палицю до 50 км (31 миля), нова довжина берегової лінії склала б 3400 км (2100 миль).

Кінець ознайомчого уривка

СПОДОБАЛАСЯ КНИГА?